Eigenvectors and Diagonalization

Generalized Eigenvector and Jordan block

• 1. Generalized Eigenvector and Jordan block
  • Generalized Eigenvector
    • Generalized Eigenvector of grade \(k\)
    • Chain of Generalized Eigenvector
  • Jordan block
• 2. Chain of Generalized Eigenvector
  • bottom up 방식
  • Top down 방식
    • 상황
    • \(N^{\eta-1}\)의 vector와는 독립인 vector를 \(N^\eta\)에서 찾자.
    • 바꿔치기→ chain으로 만들자
  • 서로 다른 eigenvalue에 대한 chain of generalized eigenvector들이 서로 독립일까?
• Jordan canonoical form

1. Generalized Eigenvector and Jordan block

Generalized Eigenvector

eigenvalue \(\lambda_i\)에 대하여 행렬 \(A\)의 generalized eigenspace는 \(\{x:(A-\lambda_iI)^k x = 0 \text{ for some } k\geq 0\}\)로 정의된다.

\(dim( \text{generalized eigenspace of } \lambda_i) = m_i\) 이므로 이 generalized eigenspace에서 \(m_i\) 개의 독립인 vector를 뽑을 수 있는데, 이를 generalized eigenvector라고 한다.

\(k=1\) 인 eigenspace에서 독립인 vector는 eigenvector이며 이는 \(g_i\) 개이고 우리는 generalized eigenspace에서 eigenvector를 제외하고도 \(m_i - g_i\)개의 독립인 vector를 더 뽑을 수 있다.

Generalized Eigenvector of grade \(k\)

generalized eigenvector를 조금 더 구체적으로 살펴보면 grade \(k\) 에 대해 나눠볼 수 있다.

\[v \in \text{generalized eigenspace of } \lambda_i \\ (A-\lambda_i I)^k v = 0 \\ (A-\lambda_i I)^{k-1} v \neq 0\]

위 조건을 만족하는 vector \(v\) 를 generalized eigenvector of grade \(k\) 라고 부르고 \(v_k\) 라고 적는다.
즉 \(v_k\) 는 \((A-\lambda_i I)^l, l≥ k\)를 곱하면 0이 되고, \((A-\lambda_i I)^l, l <k\) 를 곱하면 0이 되지 않는 eigenvector이다. (= k를 키움으로써 이전에는 eigenspace안에 속하지 않았던 vector가 속하게 된 것)

Chain of Generalized Eigenvector

\[v := \text{generalized eigenvector of grade k} \\ v_k = v \\ v_{k-1} = (A-\lambda I)v_k \\ v_{k-2} = (A-\lambda I)^2v_{k} \\ ... \\ v_1 = (A-\lambda I)^{k-1} v_k\]

\(\{v_1, ... , v_k\}\) 를 chain of generalized eigenvector 라고 한다. 이때 chain of generalized eigenvector는 linearly indepedent하다.

proof

\[\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_kv_k =0\]

위 식의 계수가 모두 0임을 보이면 linearly independent이다.

1. 양변에 \((A-\lambda I)^{k-1}\) 을 곱해보자

   그러면 grade가 \(k-1\) 이하인 eigenvector들은 모두 0이 된다. 이 경우 \(\alpha_k (A-\lambda I)^{k-1} v_k=0\) 형태가 되는데, \(v_k\) 는 grade k인 generalized eigenvector이므로 \(\alpha_k\)가 0이어야 한다.

2. 위 방법을 \((A-\lambda I)^{k-2}\) 부터 \((A-\lambda I)\) 까지 한번씩 곱해봐서 \(\alpha_{k-1}, ... \alpha_1\) 까지 모두 0인걸 확인할 수 있다.

Jordan block

한편 이런 상황을 생각해보자

\[A \in R^{n \times n}, \text{eigenvalue } \lambda, m(\text{ algebric multiplicity }) = n \\ g (\text{ geometric multiplicity }) = 1\]

generalized eigenspace \(N(A-\lambda I )^\eta\) 를 잡고 \(v_\eta\) 인 generalized eigenvector of grade \(\eta\) 를 하나 잡았다고 해보자. \(v_\eta\) 로부터 chain of generalized eigenvector를 잡을 수 있다.

만일 \(\eta = n\) 이라면

\[v_n = v_\eta \\ v_{n-1} = (A-\lambda I)v_n \\ v_{n-2} = (A-\lambda I)^2 v_n \\ ... \\ v_{1} = (A-\lambda I)^{n-1} v_n\]

으로 chain of generalized eigenvector를 잡을 수 있고, 위 식을 아래와 같이 다시 쓸 수 있다

\[v_{n-1} = Av_n -\lambda v_n \rightarrow Av_n = \lambda v_n +v_{n-1} \\ A\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & ... & v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & ... & v_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 &... & 0 \newline 0 & \lambda & 1 & 0 & ... &0 \newline &&&&... \newline 0 & 0 & 0& 0&... & \lambda \end{bmatrix}\] \[A = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & ... & v_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 \newline 0 & ... & 1\newline 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} v_1 & v_2 & ... & v_n \end{bmatrix} }^{-1} =TJT^{-1}\]

\(\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 \newline 0 & ... & 1\newline 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}\)→ 이런 matrix들을 \(A\) 의 Jordan block 이라고 한다.

만일 \(g=2\) 이면 chain set이 2개 생길 것이다.

\(\{v_1, ... v_k\}, \{w_1, ... w_q\}\) 이렇게 생기고 두 chani set을 column vector 삼아 묶으면

\[A \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & ... &v_k & w_1 &w_2 & ... &w_q \end{bmatrix} \\ = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & ... &v_k & w_1 &w_2 & ... &w_q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \begin{matrix} \lambda & 1 & 0 \newline 0 & ... & 1 \newline 0 & 0 & \lambda \end{matrix} & 0 \newline 0 & \begin{matrix} \lambda & 1 & 0 \newline 0 & ... & 1 \newline 0 & 0 & \lambda \newline \end{matrix} \end{bmatrix}\]

그림과 같이 Jordan block이 2개의 sub-block으로 나뉘어지는 것을 볼 수 있다. 좌측 상단 block은 \(k\times k\) , 우측 하단 block은 \(q \times q\) 사이즈를 가진다.

즉 \(\lambda_i\) 에 대해서 \(g_i\) 만큼의 chain을 잘 찾으면 Jordan block을 구성할 수 있다.

2. Chain of Generalized Eigenvector

Jordan block을 구하려면 chain of generalized eigenvector를 잘 찾으면 된다. 어떻게 Chain of generalized eigenvector를 구할 것인가?

bottom up 방식

1. eigenvector 하나를 잡는다. \(v_1 \in N(A-\lambda I)\)
2. grade 1차수 높은 eigenvector를 잡는다. \(v_1 = (A-\lambda I)v_2\) 인 \(v_2\)를 찾는다.

이런 bottom up 방식은 좋지 못하다. \(det(A-\lambda I) = 0\) 이고 이는 곧 singular matrix란 걸 의미하며 \(v_1 \in R(A-\lambda I)\) 를 확신할 수 없다.

Top down 방식

표기를 단순하게 하기 위해 아래와 같이 표기한다.

\[\lambda_i \rightarrow \lambda \\ m_i \rightarrow m \\ g_i \rightarrow g \\ \eta_i \rightarrow \eta \\ N(A-\lambda_i I)^k \rightarrow N^k\]

상황

• \(N^0 \subset N^1 \subset N^2 \subset ... \subset N^\eta\) 이다.
• \(v_k= dim(N^k)\) 라고 하자
  • \(v_1 = g\) 이고 \(v_\eta\) = \(m\) 이 된다.
• \(\mu_k = dim(N^k)-dim(N^{k-1})\) 라고 하자.
  • \(N^\eta = N^{\eta+1}\)이므로 \(\mu_{\eta+1} = 0\) 이 될 것임을 알 수 있다.

\(N^{\eta-1}\)의 vector와는 독립인 vector를 \(N^\eta\)에서 찾자.

(= generalized eigenvector of grade \(\eta\) 를 찾자.)

1. \(N^1\) 에서 \(\mu_1 = v_1\) 개 만큼의 선형 독립인 vector \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}\}\) 를 나열해보자 (즉 eigenvector의 나열)
2. \(N^2\) 에서 위에서 고른 vector와 독립인 vector \(\mu_2\) 개만큼 더 골라보자. \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2} \}\)
3. 위 과정을 \(N^\eta\) 까지 반복한다.
   \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , u_{\eta 1}, ... u_{\eta \mu_\eta} \}\) → 총 \(v_\eta = m\) 개의 독립인 vector들이다.
4. \(u_{\eta 1}\) ~ \(u_{\eta \mu_\eta}\)는 generlized eigenvector of grade \(\eta\) 이다.
5. 위 vector들은 chain 관계가 아니므로 chain 관계들로 잘 맞춰진 vector들로 바꿔치기 할 것이다.

바꿔치기→ chain으로 만들자

1. \(V_{\eta 1} = u_{\eta 1}, V_{\eta 2} = u_{\eta 2} , ... , V_{\eta \mu_\eta} = u_{\eta \mu_\eta}\) 라고 하자

2. 아래 grade \(V\)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

   \[V_{(\eta-1) 1} = (A-\lambda I) V_{\eta 1}, \\ V_{(\eta-1) 2}=(A-\lambda I)V_{\eta 2}, \\ ... , \\ V_{(\eta-1) \mu_{\eta}} = (A-\lambda I)V_{\eta \mu_\eta}\]

3. 이제 \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , u_{\eta 1}, ... u_{\eta \mu_\eta} \}\) 에서 \(u_{(\eta-1)1}\) ~ \(u_{(\eta-1)\mu_{\eta-1}}\)을 \(V_{(\eta-1)1}\) ~ \(V_{(\eta-1)\mu_\eta}\) 로 교체하고자 하는데 개수가 다르다. \(u\)의 개수는 \(\mu_{\eta-1}\) 개 \(V\)의 개수는 \(\mu_\eta\) 개이다. 그런데 \(\mu_{\eta-1} ≥\mu_\eta\) 이다. 왜일까?

   이를 알려면 \(V_{(\eta-1)1}\) ~ \(V_{(\eta-1)\mu_\eta}\) 로 교체한 vector set \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , V_{(\eta-1) 1}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta}} \}\)이 선형 독립임을 보이면 된다.

   왜냐하면 일단 \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , u_{(\eta-1) 1}, ... , u_{(\eta-1) \mu_{\eta-1}}\}\) 은 \(N^{\eta-1}\) 에서 선형 독립인 모든 vector들이다. \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , V_{(\eta-1) 1}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta}} \}\) 또한 \(N^{\eta-1}\) 에서 고른 vector들이면서 선형 독립이라면 그 개수가 \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , u_{(\eta-1) 1}, ... , u_{(\eta-1) \mu_{\eta-1}}\}\)보다 작아야 하기 때문이다.

   따라서 \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , V_{(\eta-1) 1}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta}} \}\) 들이 선형 독립임을 보이면 \(\mu_\eta \leq \mu_{\eta-1}\)을 보일 수 있다.

   선형독립임을 보이기 위해서면, 아래의 식에서 계수가 모두 0임을 보이면 된다.

   \[\alpha_{11} u_{11} + ... +\alpha_{(\eta-2)\mu_{\eta-2}} u_{(\eta-2)\mu_{\eta-2}}+ \alpha_{(\eta-1)1} V_{(\eta -1)1}+ ... +\alpha_{(\eta-1)\mu_{\eta}}V_{(\eta-1)\mu_\eta}=0\]

   일단 종속 이라고 가정해보자

   • \(\alpha_{(\eta-1)1}\) 부터 그 이후 계수들이 모두 0이라면 \(\alpha_{(\eta-1)1}\) 앞에 0이 아닌 계수가 있어야 하는데, \(u_{ij}\) 는 모두 선형독립인 vector들만 뽑은 것이므로 0이 아닌 계수가 있을 수 없다. 따라서 0 이 아닌 계수는 \(\alpha_{(\eta-1)1}\) ~ \(\alpha_{(\eta-1)\mu_\eta}\)에 있다.
   • \(\alpha_{11} u_{11} + ... +\alpha_{(\eta-2)\mu_{\eta-2}} u_{(\eta-2)\mu_{\eta-2}}+ \alpha_{(\eta-1)1} V_{(\eta -1)1}+ ... +\alpha_{(\eta-1)\mu_{\eta}}V_{(\eta-1)\mu_\eta}=0\) 양변에 \((A-\lambda I)^{\eta-2}\) 를 곱해보자. \(\alpha_{11} u_{11} + ... +\alpha_{(\eta-2)\mu_{\eta-2}} u_{(\eta-2)\mu_{\eta-2}}\) 쪽은 모두 0이 된다. 왜냐하면 \(u\) vector들의 grade보다 높은 지수의 \((A-\lambda I)\) 를 곱했기 때문이다.
   • 따라서 위 식은 \(\sum_{k} \alpha_{(\eta-1)k}(A-\lambda I)^{\eta-2}V_{(\eta-1)k} = 0\) 이 된다.
   • 그런데 \((A-\lambda I) ^{\eta-2} V_{(\eta-1)k} \neq 0\) 이므로 \(\sum_{k} \alpha_{(\eta-1)k}(A-\lambda I)^{\eta-2}V_{(\eta-1)k} = 0\) 를 만족하려면 모든 계수( \(\alpha_{(\eta-1)k}\) )가 0이어야 한다.
   • 이는 가정에 모순
   • 따라서 위 식은 선형 독립이다.

   \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , V_{(\eta-1) 1}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta}} \}\)가 선형독립이므로 \(\mu_\eta \leq \mu_{\eta-1}\) 이다.

   위 과정을 반복하면 임의의 \(k\)에 대하여 \(\mu_k \leq \mu_{k-1}\) 임을 알 수 있고 \(u_{(\eta-1)1}\) ~ \(u_{(\eta-1)\mu_{\eta-1}}\)을 \(V_{(\eta-1)1}\) ~ \(V_{(\eta-1)\mu_\eta}\) 로 교체하고자 할 때 항상 \(\mu_{k-1} - \mu_{k}\) 개수 만큼의 vector가 모자르다는 걸 알 수 있다.

4. \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , u_{(\eta-1) 1}, ... , u_{(\eta-1) \mu_{\eta-1}}, u_{\eta 1}, ..., u_{\eta \mu_\eta} \}\) 에서 \(u_{(\eta-1) 1}, ... , u_{(\eta-1) \mu_{\eta-1}}\) 를 \(V_{(\eta-1) 1}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta}}\) 로 바꿔치기에는 개수가 모자라다.

   그래서 \(N^{\eta-1}\) 에서 임의로 \(N^{\eta-2}\) vector와 독립이 되도록 \(\mu_{\eta-1} - \mu_{\eta}\) 개 만큼의 독립인 vector를 추가로 골라서 바꿔치기 하면 된다.

5. 바꿔치기 하면

   \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , V_{(\eta-1) 1}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta}}, V_{(\eta-1)(\mu_\eta +1)}, ... , V_{(\eta-1)\mu_{\eta-1}}, u_{\eta 1}, ... , u_{\eta \mu_\eta}\}\)가 된다.

   \(V_{(\eta-1) 1}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta}}\) 는 위 grade에서 한 차례 내려온 것이고, \(V_{(\eta-1) (\mu_\eta+1)}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta-1}}\)은 내가 \(N^{\eta-1}\)에서 \(N^{\eta-2}\)의 vector와 독립이 되도록 임의로 고른 것이다.

6. 이제 \(u_{(\eta-2)1}, ... , u_{(\eta-2)\mu_{\eta-2}}\)를 바꿔치기 하기 위해
   \(V_{(\eta-1) 1}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta}}, V_{(\eta-1)(\mu_\eta +1)}, ... , V_{(\eta-1)\mu_{\eta-1}}\) 에 \((A-\lambda I)\)를 곱해서 \(V_{(\eta-2) 1}, ... , V_{(\eta-2) \mu_{\eta}}, V_{(\eta-2)(\mu_\eta +1)}, ... , V_{(\eta-2)\mu_{\eta-1}}\)을 만든다.

7. \(V_{(\eta-2) 1}, ... , V_{(\eta-2) \mu_{\eta}}, V_{(\eta-2)(\mu_\eta +1)}, ... , V_{(\eta-2)\mu_{\eta-1}}\) 를 만들면 \(\mu_{\eta-1}\) 이 \(\mu_{\eta-2}\) 보다 적을 것이므로 적은 개수 만큼 \(N^{\eta-2}\) 에서 \(N^{\eta-3}\)의 vector와 독립이 되도록 \(\mu_{\eta-2}-\mu_{\eta-1}\) 개 만큼의 독립인 vector를 골라 아래와 같이 치환할 수 있다.

   \(\{u_{11}, u_{12}, ... u_{1\mu_1}, u_{21}, ... ,u_{2\mu_2}, ... , V_{(\eta-2) 1}, ... , V_{(\eta-2) \mu_{\eta-2}}, V_{(\eta-1) 1}, ... , V_{(\eta-1) \mu_{\eta}}, V_{(\eta-1)(\mu_\eta +1)}, ... , V_{(\eta-1)\mu_{\eta-1}}, u_{\eta 1}, ... , u_{\eta \mu_\eta}\}\)로 치환할 수 있다.

8. 이런 식으로 계속 치환해가면 최종적으로 chain of generalized eigenvector를 구성할 수 있다.
   • \(g\) 개 만큼의 sub-block이 하나의 jordan block 안에 생기고 jordan block은 \(m \times m\) 사이즈가 된다.

서로 다른 eigenvalue에 대한 chain of generalized eigenvector들이 서로 독립일까?

위 과정은 하나의 eigenvalue \(\lambda_i\) 에 대한 top down approach 이다. 만일 distinct eigenvalue가 \(d\)개 있다면 서로 다른 eigenvalue에 대해서 chain of generalized eigenvector들을 구할 수 있는데, 과연 이 vector들은 모두 서로 선형 독립일까? 생각해볼 수 있다.

답은 yes이고 이에 대해 알아보자.

\(\alpha_{ijk}\) : \(\lambda_i\) 에 대한 grade \(j\) 의 \(k\) 번째 계수
\(V_{ijk}\) : \(\lambda_i\) 에 대한 grade \(j\) 의 \(k\) 번째 계수

\[\alpha_{111}V_{111} + \alpha_{112}V_{112} + ... + \alpha_{1\eta_1m_1}V_{1\eta_1m_1} + ... + \alpha_{d\eta_d m_d }V_{d\eta_d m_d}= 0\]

위 식의 계수들 \(\alpha_{ijk}\)가 모두 0임을 보이면 선형독립임을 알 수 있다.

• \(\lambda_1\), grade \(\eta_1\)에 대한 계수들 \(\alpha_{1,\eta_1,k}\) (\(1 \leq k \leq m_1\)) 에 대해 먼저 알아보자
  1. \((A-\lambda_2 I)^{\eta_2}(A-\lambda_3 I)^{\eta_3} ... (A-\lambda_d I)^{\eta_d}(A-\lambda_1 I)^{\eta_1-1}\) 을 양변에 곱하면 \(\lambda_1\) 에 대한 eigenvector들은 제외하고 모두 0이 된다.
  2. \(\sum_k (A-\lambda_2 I)^{\eta_2}(A-\lambda_3 I)^{\eta_3} ... (A-\lambda_d I)^{\eta_d}(A-\lambda_1 I)^{\eta_1} \alpha_{1\eta_1 k}V_{1\eta_1 k} = 0\) 이 되고 좌변은 \(\sum_k \alpha_{1\eta_1 k}(\lambda_1 -\lambda_2)^{\eta_2}(\lambda_1 -\lambda_3)^{\eta_3}... (\lambda_1 -\lambda_d)^{\eta_d}V_{11k}\)가 된다. 왜냐하면 \(V_{11k} = (A-\lambda_1 I)^{\eta_1 -1} V_{1\eta_1 k}\) 로 grade를 1까지 낮춘 vector이기 때문이다. grade를 1까지 낮춘 vector는 eigenvector로 행렬 \((A-\lambda I)\)로 표시되는 부분이 \((\lambda_1 -\lambda)\)로 바뀌어 계산되게 된다.
  3. \(\sum_k \alpha_{1\eta_1 k}(\lambda_1 -\lambda_2)^{\eta_2}(\lambda_1 -\lambda_3)^{\eta_3}... (\lambda_1 -\lambda_d)^{\eta_d}V_{11k} = 0\) 을 만족하려면 \(\alpha_{1\eta_1 k}\)가 모두 0이어야 한다.
• \(\lambda_1\), grade \(\eta_1 -1\) 에 대한 계수들이 0인지 알아보려면 아래와 같이 하면 된다.

  1. \(\alpha_{1\eta_1k}=0\) 임을 알았으니 아래의 식에 \((A-\lambda_2 I)^{\eta_2}(A-\lambda_3 I)^{\eta_3} ... (A-\lambda_d I)^{\eta_d}(A-\lambda_1 I)^{\eta_1-2}\) 를 곱해본다. (\(\eta_1 -1 \rightarrow \eta_1 -2\)로 변경됨)

     \[\alpha_{111}V_{111} + \alpha_{112}V_{112} + ... + \alpha_{1(\eta_1-1)m_1}V_{1(\eta_1-1)m_1} + ... + \alpha_{d\eta_d m_d }V_{d\eta_d m_d}= 0\]

  2. grade \(\eta_1\) 에서 했던 대로 동일하게 반복한다.

• 더 낮은 모든 grade에 대해서는 \((A-\lambda_1 I)\)의 지수를 낮춰가면서 곱해서 모두 0임을 보이면 된다.
• 다른 eigenvalue에 대해서는 \((A-\lambda_2 I)^{\eta_2}(A-\lambda_3 I)^{\eta_3} ... (A-\lambda_d I)^{\eta_d}(A-\lambda_1 I)^{\eta_1-1}\) 식에서 \(\lambda_1\) 자리에 보이고자 하는 \(\lambda\) 를 위치시킴으로서 곱하는 식을 구성하고 위 방법대로 반복하면 된다. 이 때 \((A-\lambda I)\)는 commute matrix(\(AB=BA\)인 matrix) 이므로 \((A-\lambda_2 I)^{\eta_2}(A-\lambda_3 I)^{\eta_3} ... (A-\lambda_d I)^{\eta_d}(A-\lambda_1 I)^{\eta_1-1}\) 식을 좌우로 교환하여 곱하든 결과는 같다.

Jordan canonoical form

위 과정을 모든 eigenvalue에 대해서 반복하면 어떠한 행렬 \(A\)가 주어졌을 때 distinct 한 eigenvalue \(d\)개 각각의 \(\lambda_k\) 에 대해서 \(m_k\), \(g_k\) 를 알 수 있고, 이를 기반으로 각각의 eigenvalue에 대하여 chain of generalized eigenvector를 구할 수 있다.

이렇게 chain of generalized eigenvector set을 구하면 Jordan canonical form을 만들 수 있는데, 이는 여러개의 대각 성분으로 Jordan block이 이어져 있는 matrix를 의미한다. 하나의 Jordan block은 하나의 eigenvalue와 대응되며 이 jordan block안에도 \(g\) 개의 sub-block이 있는데, 이 sub-block은 eigenvector와 대응된다.

• distinct eigenvalue 개수 만큼의 Jordan block for \(\lambda_i\) (\(m_i \times m_i\) size) 가 Jordan canonical form에 있다.
  • \(g_i\) 개 만큼의 sub-block이 jordan block for \(\lambda_i\) 에 있다.